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作為科學家，華羅庚解放后第一個從國外回歸新中國，是新中國數(shù)學研究事業(yè)的創(chuàng)始人，也是中國在世界上最有影響的數(shù)學家之一。他是中國解析數(shù)論、典型群論、矩陣幾何等許多方面研究的創(chuàng)始人和開拓者。

少年時華羅庚即對數(shù)學產(chǎn)生濃厚興趣，通過自學，1930年發(fā)表的論文《蘇家駒之代數(shù)五次方程式解法不能成立的理由》，引起清華大學數(shù)學系主任熊慶來教授高度重視。1936年，經(jīng)熊慶來教授推薦，華羅庚前往英國，留學劍橋。兩年中，他集中精力研究堆壘素數(shù)論，并就華林問題、他利問題、奇數(shù)哥德巴赫問題發(fā)表18篇論文。他關于完整三角和的研究成果被國際數(shù)學界稱為“華氏定理”�！叭A氏定理”使著名數(shù)學家哈代修改了自己即將出版的著作。華羅庚還徹底解決了19世紀數(shù)學之王高斯提出的完整三角和估計問題，轟動劍橋，被視為“劍橋的光榮”。此外，他還與數(shù)學家王元于1959年開拓了用代數(shù)論的方法研究多重積分近似的新領域，其研究成果被國際數(shù)學界譽為“華一王方法”。在美國芝加哥科學技術博物館所列當今88位數(shù)學偉人的名單中，華羅庚的名字赫然其間。

錢學森的《工程控制論》

1954年，錢學森在美國出版英文版《工程控制論》一書，系統(tǒng)總結了自動控制理論的新發(fā)展，開創(chuàng)了一門新的技術科學。《工程控制論》一問世，很快在美國科學界有識之士中間，引起了廣泛關注。他們認為，此書是這個領域中奠基式的著作，是繼美國科學家維納之后又一個輝煌的成就。因此。該書贏得了很高的國際聲譽。兩年以后，該書的俄文版、德文版和中文版相繼出版。

《工程控制論》是錢學森在科學領域中的哲學思想和文字才華的集中表現(xiàn)。一位專欄作家對錢學森的《工程控制論》作了評論。他寫道：控制論是關于工程技術領域各個系統(tǒng)自動控制和自動調(diào)節(jié)的理論。維納博士40年代提出了控制論的基本思想后，不少工程師和數(shù)學博士曾尋找通往這座理論頂峰的道路，但均半途而廢。工程師偏重于實踐，解決具體問題，不善于上升到理論高度、數(shù)學家則擅長理論分析，卻不善于從一般到個別去解決實際問題。錢學森則集中兩個優(yōu)勢于一身，高超地將兩只輪子裝到一輛戰(zhàn)車上，碾出了工程控制論研究的一條新途徑。他的開創(chuàng)性著作《工程控制論》被世界公認為自動化控制技術的理論基礎。40多年來，這本著作為世界各國科學家廣為引證、參考，成為自動控制領域引用率最高的經(jīng)典著作。

單調(diào)算子思想的提出

1956年，中國數(shù)學家關肇直在《數(shù)學學報》上發(fā)表《解非線性函數(shù)方程的最速下降法》的論文。該文證明了求解希爾伯特空間中非線性方程的最速下降法依這個空間中的范數(shù)收斂，并且和線性問題相仿，其收斂速度是依照等比級數(shù)的。這種方法可以用來解某些非線性積分方程以及某些非線性微分方程的邊值問題。此后無窮維情形最速下降法得到了迅速發(fā)展。特別應該指出的是，這篇論文中首次出現(xiàn)了單調(diào)算子的思想。論文的主要假設是位算子導數(shù)的正定性。關肇直指出“在較弱的條件下證明本文中所提出的方法的收斂性似乎是值得研究的問題”。后來人們通過進一步深人研究發(fā)現(xiàn)，這個較弱的條件就是目前大家所知道的（強）單調(diào)性條件。

單調(diào)算子概念的正式提出是60年代初的事情。單調(diào)性理論，包括單調(diào)算子、增生算子、非線性半群和非線性發(fā)展方程等等的理論，現(xiàn)今已經(jīng)成為非線性泛函分析中的一個重要分支。關肇直對單調(diào)算子理論的成長作了開創(chuàng)性的工作。

柯氏定理

在20世紀60年代，我國數(shù)學家柯召解決了100多年數(shù)學界都沒有解決的難題，即著名的“正定二次型的類數(shù)和不定方程”中的卡特蘭問題�？抡俚难芯砍晒�被國際數(shù)學界稱為“柯氏定理”。與“柯氏定理”相聯(lián)系的是在國際上受到高度贊譽的一種富有創(chuàng)造性的方法“柯氏方法”。另外他與數(shù)學家孫琦在數(shù)論方面的研究成果在國際上被稱為“柯——孫猜測”。

楊張定理